(۴- ۴۰)
در حقیقت، با اعمال ماتریس ، در عبارت بالا، مقدار احتمالی موجود در ماتریس حذف
می گردد و عبارت بالا به شکل زیر قابل تعریف خواهد بود:
(۴- ۴۱)
در واقع عبارت بالا، شامل دو ترم از خطا بوده که با اعمال ماتریس ، یک ترم از خطا حذف گردیده و دقت خروجی افزایش می یابد. با اعمال ماتریس ، مقادیری از زیرفضای سیگنال که به صورت خطا در زیرفضای نویز تخمینی وارد شده است، صفر می گردد. در ضمن دقت شود که در صورتی می توان از ماتریس در محاسبات فوق استفاده نمود که فاصله بین آنتن ها کوچکتر از نصف طول موج معادل بزرگترین فرکانس، در مرحله پردازش باشد و در صورت استفاده از فرکانس مرکزی به عنوان مرجع، تداخل^[۱۰۷] ایجاد خواهد گردید.
۴-۶- الگوریتم محاسبه
در عمل، پس از محاسبه تخمین زیرفضای سیگنال و نویز و تشکیل ، این ماتریس به علت وجود خطا هرگز منفرد نمی گردد. پس می بایست به جای این که به دنبال منفرد شدن ماتریس باشیم، سعی در تعیین میزان نزدیک تر شدن(به ازای های مختلف) به یک ماتریس منفرد نماییم.
بدین منظور می توان، با محاسبه کوچکترین مقدار ویژه ماتریس ، (به ازای های مختلف)، خروجی را به دست آورد. با توجه به توضیحات مذکور می توان الگوریتم را به شکل زیر تعریف نمود:

1. 1. خروجی آنتن ها را به بلوک های با تعداد نمونه مشخص شامل بلوک تقسیم می نماییم.

1. 1. 1. از هر بلوک ، با نقطه می گیریم. بنابراین در حقیقت می بایست به ازای هر آنتن بلوک جداگانه گرفته شود.

   

1. 1. به ازای بلوک ام، را انتخاب نموده که در آن مربوط به فرکانس می باشد.

1. 1. زیرفضای سیگنال را محاسبه نموده و ، زیر فضای نویز را به ازای از طریق تخمین ماتریس همبستگی محاسبه می نماییم.

1. 1. ماتریس را با فرض به عنوان زاویه ورود، تخمین می زنیم.

1. 1. را با توجه به عبارت زیر تخمین می زنیم

(۴- ۴۲)
که در آن ، برابر با کوچکترین مقدار ویژه ماتریس ، به ازای برای آرایه یک بعد و ، برای آرایه دو بعدی می باشد. تخمین فوق شامل محاسبه مقدار است که به ازای های مختلف، باعث حداکثر شدن عبارت می گردد.
۴-۶-۱- پیچیدگی محاسبات
محاسبه دقیق میزان پیچیدگی الگوریتم در عمل بسیار مشکل است. اما تعداد محاسبات به تعداد محاسبه^[۱۰۸] که یک ماتریس از مرتبه می باشد، بستگی دارد. محاسبه مقدار ویژه ماتریس با بهره گرفتن از روش برابر با میزان محاسبه یک ماتریس از مرتبه به ازای هر می باشد.
همان طور که به نظر می رسد، الگوریتم ، عملیات محاسباتی زیادی را شامل می گردد. در الگوریتم و ، پس از محاسبه تخمین ماتریس همبستگی، فقط نیاز به محاسبه یک بار برای
باند باریک سیگنال می باشد. در نتیجه، میزان محاسبات آن نسبت به روش ، بسیار کمتر می باشد. البته در روش ، برای محاسبه ماتریس کانونی نیاز به محاسبه یک ماتریس () به ازای هر بین فرکانسی باند باریک می باشد. با در نظر گرفتن هزینه محاسبات برای پردازش و راندمان خروجی با توجه به توضیحات ارائه شده در انتهای فصل، الگوریتم ، هنوز به عنوان بهترین گزینه در جهت یابی سیگنال های پهن باند مطرح می گردد، هر چند که دارای حجم محاسبات بیشتری نسبت به روش های قبلی است.
فصل پنجم
شبیه سازی الگوریتم های تخمین DOA
برای آرایه های خطی

۵-۱- مقدمه
در این فصل، برآنیم تا عملکرد الگوریتم های تخمین زاویه ورود سیگنال مبتنی بر زیرفضا و مبتنی
بر پرتودهی سیگنال در حالت پهن باند را که در فصل های گذشته توضیح داده ایم، بررسی نماییم.
بدین منظور، در این پایان نامه، از داده های ایده آل (عاری از اثر ترویج متقابل) و معیار بهره
گرفته شده است. در این راستا، الگوریتم های ذکر شده در این پایان نامه را در محیط MATLAB، با بهره گرفتن از داده های به دست آمده از شبیه سازی یک آرایه خطی یکنواخت، در شرایط عاری از ترویج متقابل، تحت حالات مختلف، مورد بررسی قرار می دهیم. پارامترهایی که در این شبیه سازی ها از اهمیت برخوردار بوده و مورد بررسی قرار می گیرند، به شرح ذیل است:

1. 1. تعداد عناصر آرایه خطی

1. 1. تعداد منابع ارسال سیگنال (با زوایای متفاوت)

1. 1. تعداد نمونه های به کار رفته^[۱۰۹]جهت تخمین ماتریس خودهمبستگی

1. 1. نسبت سیگنال به نویز

1. 1. پهنای باند سیگنال و پهنای باند هر بین فرکانسی که در واقع می توان، آن را با تعداد بین های فرکانسی انتخابی مشخص نمود.

۵-۲- الگوریتم های تخمین
در این پایان نامه، الگوریتم های MUSIC، Capon، CSSM، WAVES و TOPS را شبیه سازی نموده و خروجی های هر کدام را با توجه به حالت های متفاوت بیان شده در بخش (۵-۱)، با یکدیگر مقایسه
می نماییم. بدین منظور، چند سناریوی متفاوت در این بخش تعریف گردیده و به ازای هر سناریو، خروجی این الگوریتم ها با یکدیگر مقایسه می گردد.
۵-۲-۱- معرفی اجمالی الگوریتم های به کار رفته در شبیه سازی
همان گونه که پیش تر، عنوان گردید، الگوریتم های تشخیص زاویه ورود، خود به دو دسته کلی
الگوریتم های همبسته و ناهمبسته تقسیم می شوند. در این فصل، از میان الگوریتم های ناهمبسته به بررسی الگوریتم MUSIC و Capon پرداخته خواهد شد.
۵-۲-۱-۱- بررسی الگوریتم MUSIC و Capon
همان گونه که قبلاً نیز توضیح داده شده است، ابتدا داده های دریافتی را توسط بانک فیلتر FFT به
بین فرکانسی باند باریک تفکیک نموده، سپس، الگوریتم MUSIC و Capon را در هر بین فرکانسی باند باریک، به صورت جداگانه محاسبه نموده و در انتها با بهره گرفتن از میانگین گیری، خروجی را محاسبه
می نماییم.