شکل ۲-۳ : عدد گاوسی فازی]۴[
که به اختصار به صورت نشان داده می شود.
تعریف ۲-۱۳: عدد فازی با تابع عضویت زیر را عدد فازی ناقوسی^[۱۰]می‌نامند.
که به اختصار به صورت نشان داده می شود.شکل ۲-۴ یک عدد فازی ناقوسی را نشان می دهد.
شکل ۲-۴ : عدد ناقوسی فازی]۴[
۲- ۱ - ۴ عملگرهای جبری بر اعداد فازی
فرض کنید و و نیز ، عملگرهای جمع، تفریق، ضرب اسکالر، ضرب و تقسیم برای این اعداد را با توجه به اصل گسترش به ترتیب با نمادهای معرفی کرده و داریم:

١) جمع دو عدد فازی
٢) قرینه
٣) تفریق
۴) ضرب اسکالر
۵) ضرب
اگر دو عدد فازی و مثبت باشند:
اگر دو عدد فازی و منفی باشند:
اگر دو عدد فازی مثبت و منفی باشند:
۲-۲ سیستم های خبره فازی
در دهه ۱۹۷۰ علم هوش مصنوعی تمام تلاش خود را به کار برد تا برنامه های هوشمند کامپیوتری را بوجود بیاورد. در اواخر این دهه محققان هوش مصنوعی با ترکیب دانش های مختلفی که از محیط پیرامون مسئله دریافت کرده بودند توانستند برنامه های کامپیوتری منحصربه فردی را خلق کنند. این برنامه ها سیستم های خبره نامگذاری شد که در واقع خبرگی انسان خبره را در دامنه مسئله مورد نظر شبیه سازی می کرد. سیستم خبره سیستم کامپیوتری است که توانایی استدلال در دامنه اطلاعاتی موجود در مسئله و ارائه پیشنهادات را دارد. پایگاه دانش به منزله قلب سیستم خبره می باشد و معمولا دانش موجود در مسئله به فرم قواعد استنتاجی if-thenبیان می شود. به طور خاص پایگاه قواعد دانش زبانی انسان را به صورت فرایند استدلالی تبدیل می کند. این مکانیسم تنها توانایی و قدرت سیستم های خبره نبود و به همین دلیل در دهه گذشته دامنه کاربرد های سیستم های خبره شروع به افزایش نهاد. این گونه سیستم ها برای انواع مسائل مختلف از جمله پیش بینی طراحی برنامه ریزی نظارت تعمیر و نگهداری اشکال زدایی و کنترل به کار گرفته شدند. آنها به سرعت به حوزههایمختلف.ازجمله،پزشکی،زمینشناسی،شیمی،مهندسی،سیستمهای.کامپیوتری،حسابرسی،بازاریابی ،فروش و مالی راه یافتند. تفاوت اصلی این گونه سیستم ها با سیستم های مشابه دیگر در پردازش دانش به جای پردازشاطلاعات و داده ها است. از مهمترین نقاط قوت سیستم های خبره می توان به توانایی آنها در تولید نتایج کاملا مشابه با نتایج انسان خبره اشاره نمود[۲۵و۶].
از دیدگاهی دیگر تئوری فازی چهار چوبی را برای کنترل و مقابله با عدم قطعیت و ابهام در مسائل مختلف از جمله مهندسی فراهم می آورد. همان طور که قبلا بیان شد منطق فازی در محیط هایی که از متغییر های زبانی استفاده شده کارایی مطلوبی از خود نشان می دهند به همین دلیل سیستم های خبره اغلب بر چهار چوب منطق فازی تکیه کرده و در این صورت به آنها سیستم های خبره فازی می گویند. سیستم های خبره فازی در واقع به جای استفاده از منطق دو ارزشی از منطق فازی بهره می برند[۹]. از این رو این گونه سیستم ها برای مسائل پشتیبانی و کمک به تصمیم گیری که در محیط های انسانی و دارای عدم قطعیت بسیار رخ می دهند بسیار پیشنهاد شده است که به آنها سیستم های خبره کمک به تصمیم فازی گویند. به علاوه آنها در مسائل غیر خطی و پیچیده که نمی توانند با منطق معمولی ریاضیات مدل سازی شوند مورد استفاده وسیع قرار می گیرند. این توانایی هم باعث توصیف دانش با بهره گرفتن از متغیر های زبانی شده و هم باعث رفتار کاملا طبیعی سیستم منطبق با محیط های انسانی شود.
سیستم‌های خبره فازی^[۱۱] یک چارچوب محاسباتی پ‍رطرف‌دار بر مبنای مفهوم مجموعه‌های فازی قواعد if-then و استدلال فازی است. این دسته از سیستم‌ها دارای کاربرد موفقی در زمینه‌های کنترل خودکار طبقه‌بندی داده‌ها تحلیل تصمیم پیش‌بینی سری‌های زمانی رباتیک و تشخیص الگوها هستند. سیستم‌های خبره فازی تحت عناوین مختلفی مثل سیستم‌های مبتنی بر قواعد فازی سیستم‌های استنتاج فازی^[۱۲] مدل فازی حافظه‌ی انجمنی فازی کنترل کننده‌ی منطق فازی و سیستم فازی شناخته می شوند.
ساختار پایه‌ی سیستم‌های فازی از سه بخش مفهومی تشکیل می‌شود. بخش اول قواعد هستند که شامل گزینشی از قواعد فازی می‌باشد. بخش دوم پایگاه داده است که توابع عضویت مورد استفاده در قواعد فازی در قالب آن تعریف می‌شود. در نهایت بخش سوم سازوکار استنتاج است که روال استنتاج توسط آن و به کمک قواعد و حقایق موجود برای رسیدن به یک خروجی معقول انجام می‌پذیرد.
توجه داشته باشید که ورودی سیستم‌های خبره فازی می‌تواند در قالب مجموعه‌های معمولی و یا فازی باشد. اما خروجی آن همواره به صورت مجموعه‌های فازی است. گاهی نیاز به خروجی این سیستم‌ها در قالب مجموعه‌های معمولی وجود دارد. این امر به خصوص در مورد کنترل کننده‌های فازی رخ می‌دهد. بنابراین نیاز به روالی تحت عنوان غیرفازی سازی^[۱۳]جهت استخراج بهترین مقادیر غیرفازی از یک مجموعه‌ی فازی وجود دارد[۱۴].
یک سسیتم خبره فازی با ورودی و خروجی غیر فازی در واقع یک نگاشت غیر خطی از ورودی به خروجی را پیاده سازی می کند. این عملیات نگاشت از طریق قواعد if-thenفازی انجام می شود[۱۴]. هر یک از این قواعد رفتار محلی این عملیات نگاشت را تشریح می کنند. در واقع قسمت فرض هر قاعده یک ناحیه فازی در فضای ورودی و قسمت نتیجه آن یک ناحیه فازی در فضای خروجی را تعیین می نماید.
فرایند استنتاج فازی از چهار بخش تشکیل می شود که شامل فازی سازی متغیر های ورودی موتور استنتاج فازی پایگاه قواعد فازی و در نهایت غیرفازی کردن خروجی می باشد. هر یک از بخش های یاد شده در ادامه به تفصیل مورد بحث قرار خواهد گرفت. در شکل ۲-۵ چهار قسمت اصلی از یک سیستم فازی نشان داده شده است.

شکل ۲-۵: سیستم خبره فازی]۱۲و۱۳[
۲-۲-۱ مرحله ۱ : فازی سازی ورودی ها
گام اول در سیستم های استنتاج فازی دریافت ورودی ها و تعیین درجه عضویت آنها به هر یک از مجموعه های فازی از طریق توابع عضویت می باشد. ورودی ها همواره مقادیر عددی محدود شده به مجموعه مادر مربوط به متغیر ورودی می باشند. خروجی این مرحله یک درجه ی فازی است که میزان عضویت ورودی را در مجموعه فازی تعیین می کند این خروجی همواره یک عدد بین صفر و یک است.
۲-۲-۲ مرحله ۲ : موتور استنتاج فازی
موتور استنتاج فازی برنامه ای است که به آنالیز و بررسی قواعد و دانش موجود در پایگاه قواعد برای رسیدن به نتایج منطقی می پردازد. روش های متعددی برای استنتاج وجود دارد در اینجاما الگوریتم استاندارد Max-Minرا مطرح کردیم که روشی معمول در سیستم های خبره می باشد که به شرح زیر است[۳۴و۷].
در شکل ۲-۶ نحوه عملکرد موتور استنتاج فازی برای مسئله معروف انعام ارائه شده است.
۲-۲-۳ مرحله ۳ : پایگاه قواعد فازی
یک پایگاه قواعد فازی از مجموعه ای از قواعد اگر _ آنگاه فازی تشکیل می شود .پایگاه قواعد فازی از این نظر که سایر اجزا سیستم فازی برای پیاده سازی این قواعد به شکل موثر و کارا استفاده می شوند ، قلب یک سیستم فازی محسوب می شود.یک قاعده اگر-آنگاه فازی یک عبارت اگر –آنگاه بوده که بعضی کلمات آن بوسیله توابع تعلق پیوسته مشخص شده اند.
شکل ۲-۶ : نحوه عملکرد موتور استنتاج فازی]۱۲و۱۳[
۲-۲-۴ مرحله ۴ : غیرفازی سازی
ورودی فرایند غیرفازی‌سازی یک مجموعه‌ی فازی است(حاصل عملیات تجمیع) و خروجی آن یک عدد می‌باشد. منطق فازی در طی مراحل میانی به ارزیابی قواعد کمک می‌کند اما خروجی مطلوب به ازای هر متغیر عموما یک عدد است. این در حالیست که حاصل تجمیع مجموعه‌های فازی حاوی محدوده‌ای از مقادیر خروجی بوده وبه غیرفازی‌سازی در راستای ایجاد یک مقدار خروجی نیاز دارد.
پرطرف‌دارترین روش غیرفازی‌سازی محاسبه‌ی مرکز جرم است. عموما پنج روش مختلف برای غیر فازی کردن مجموعه A در مجموعه جهانی Zوجود دارد[۱۳]. این چهار روش در شکل ۲-۷ نشان داده شده است. در ادامه به شرح مختصری در مورد هر یک از استراتژی های غیرفازی سازی می پردازیم.
شکل ۲-۷ روش های غیرفازی سازی]۱۲و۱۳[
مرکز جرم:
که تابع عضویت خروجی سیستم است. این روش پر کاربرد ترین استراتژی غیرفازی سازی می باشد که یادآور محاسبه ی مقادیر مورد انتظار یک توزیع احتمالی است.
نیم ساز ناحیه:
که و . در این مورد خط عمودی ناحیه ی بین و و و را به دو ناحیه با مساحت مساوی تقسیم می کند.
میانگین ماکسیمم :
میانگین zهایی است که تابع عضویت را ماکسیمم می سازند. داریم:
که. در صورتی که تنها دارای یک نقطه ماکسیمم در باشد آنگاه خواهد بود و اگر در محدوده ی ماکسیمم شود آنگاه. از این نوع روش غیرفازی سازی در کنترل کننده فازی ممدانی استفاده می شود.
کوچکترین ماکسیمم کننده :
برابر است با مینیمم z هایی که تابع عضویت را ماکسیمم می کنند.
بزرگترین ماکسیمم کننده :
برابر است با بزرگترین zماکسیمم کننده تابع عضویت. معمولا از و به اندازه سایر روش های غیرفازی سازی استفاده نمی شود]۱و۳[