بنابراین در ادامه فرض می گردد سیستم مختصات بدنه هواپیما باسیستم مختصات اینرسی همتراز و یکسان می باشد. هنگامی که کنترل توسط انسان صورت بگیرد، این فرض به دلیل آهسته بودن حرکات هواپیما و یا بالن به خوبی جبران می گردد.

Outer Gimbal
Middle Gimbal
Inner Gimbal
Gimbal Rotating Vector
Gyroscope Rotating Vector
شکل ۲-۲- محور گیمبال و محور پلتفرم
۳-۱-۲ محور مختصات پلتفرم
سیستم محور پلتفرم یک مختصات متعامد می باشد که مرکز آن بر روی محل برخورد بردار دوران گیمبال و بردار چرخش ژیروسکوپ قرار دارد (شکل ۲-۲). با توجه به شکل ۲-۲ بردارهای محور مختصات پلتفرم شامل به عنوان بردار دوران گیمبال داخلی به سمت بیرون صفحه، بردار سمت راست بردار و در صفحه چرخش چرخ هرزگرد و عمود بر این دو بردار به سمت پایین خواهد بود. در واقع این سه بردار صفحه مختصات پلتفرم را تشکیل می­ دهند. دراین حالت در جهت بردار مومنتوم زاویه ای تولیدی توسط چرخ هرزگرد خواهد بود. همچنین جهت بردارهای پلتفرم نسبت به مختصات اینرسی با توجه به زوایای ، و و نسبت به مختصات بدنه باتوجه به زوایای ، و تعیین می گردد.
۴- ۱- ۲ محور مختصات گیمبال
این مختصات به منظور تبیین معادلات دینامیکی حرکت ژیروسکوپ در آن تعریف می گردد. در این حالت دو سیستم مختصات متعامد با بهره گرفتن از سه محور دوران گیمبال تعریف می گردد. در شکل ۲-۲ این سه محور دوران با ۱ و ۲ و ۳ نشان داده شده اند که ۱ به سمت بیرون و خواننده جهت گیری شده است. محور ۱ به عنوان محور دوران گیمبال داخلی، محور ۲ به عنوان محور دوران گیمبال میانی و محور ۳ به عنوان محور دوران گیمبال خارجی تعریف می گردند (شکل ۳-۲) .
۲- ۲- زوایای حرکات افقی و عمودی
برای نشان دادن مستقیم جهت گیری پلتفرم می توان از زوایای حرکات افقی و عمودی زاویه دید دوربین استفاده نمود. زاویه دید دوربین به صورت زیر تعریف می گردد:
و در مختصات اینرسی به صورت زیر نشان داده می شود:
با توجه به شکل ۳-۲ زاویه حرکت افقی (  ) را می توان زاویه میان محور و تصویر بردار خط افق روی صفحه درنظر گرفت. همچنین زاویه حرکت عمودی (  ) را می توان زاویه میان صفحه و بردار دید دوربین درنظر گرفت. این زاویه را می توان به صورت ریاضی نیز به دست آورد:
برای به دست آوردن زوایا در ربع صحیح باید علامت اعداد نیز درنظر گرفته شود.  
شکل ۳-۲- زوایای حرکات افقی و عمودی
۳- ۲- دوران اویلر
بهترین زوایایی که می تواند سمت و سوی دوران های بدنه را نسبت به یک نقطه ثابت نشان دهد، زوایای ، θ و Ψ هستند که به زوایای اویلر شناخته می شوند. با توجه به این زوایای اویلر تبدیل بردارهای مختصات از یک مختصات به یک مختصات دیگر تعریف می گردد [۷]. این تبدیلات با بهره گرفتن از سه تبدیل متوالی قابل انجام می باشد. در این پایان نامه ، توالی به صورت توالی چرخش ۱-۲-۳ اویلر انجام می پذیرد. زوایای گیمبال ، و هنگامی که مختصات بدنه با مختصات اینرسی هم جهت است، درواقع زوایای اویلر در مختصات گیمبال می باشند.
با توجه به شکل ۴-۲ تبدیل شامل دوران درجهت زاویه  و حول بردار و تولید مختصات  و در ادامه دوران مختصات جدید در جهت زاویه و حول بردار و تولید مختصات O- و درنهایت دوران در جهت زاویه و حول بردار و تولید مختصات  خواهد بود که این مختصات نهایی با مختصات O- هم جهت خواهد بود.
برای مثال بردار در مختصات با تبدیل به بردار  به بردار در مختصات O- تبدیل خواهد شد که از لحاظ ریاضی به صورت زیر نشان داده می شود:
که در آن داریم:
شکل ۴-۲- توالی چرخش ۱-۲-۳ اویلر
با ادغام معادلات (۸-۲) الی (۱۰-۲) به یک ماتریس کسینوسی جهتی ( (DCM)ِDirectional Cosine Matrix) خواهیم رسید که در فرمول (۱۱-۲) نشان داده شده است:
در این حالت یک بردار که در مختصات اینرسی قرار دارد با بهره گرفتن از تبدیل زیر به مختصات پلتفرم منتقل می شود:
همچنین برای تبدیل یک بردار در مختصات پلتفرم به یک بردار در مختصات اینرسی می توان از ترانسپوز ماتریس استفاده نمود:
۴-۲- نرخ دوران اویلر
سرعت زاویه ای کلی پلتفرم با توجه به زوایای اویلر به صورت زیر نوشته می شود:

با بکارگیری معادلات (۵-۲) الی (۷-۲) بردارهای یکه در معادله (۱۴-۲) در مختصات پلتفرم عبارتند از:
بنابراین سرعت زاویه ای در مختصات پلتفرم عبارت است از
با جایگذاری معادلات (۱۵-۲) الی (۱۷-۲) در معادله (۱۴-۲) می توان ضرایب را در معادله (۱۸-۲) به دست آورد:
معادلات بالا را به فرم ماتریسی می توان نوشت:
سرعت های زاویه ای در گیمبال های خارجی، میانی و داخلی توسط رابطه (۳۲-۲) قابل تعریف می باشد:
با توجه به اینکه ، و سرعت های زاویه ای اویلر یعنی ، و با سرعت های زاویه ای گیمبال ها یعنی , معادل خواهند بود. بنابراین رابطه (۲۳-۲) تبدیل سرعت های زاویه ای از مختصات پلتفرم به مختصات گیمبال را در اختیار قرار خواهد داد.
۵-۲- معادلات حرکت اویلر
تغییرات زمانی مومنتوم زاویه ای یک جسم سلب در برابر گشتاور اعمالی از طریق قانون دوم نیوتون در حرکت دورانی طبق رابطه (۲۵-۲) قابل بیان می باشد.
در این رابطه n بردار گشتاور اعمالی به جسم و h مومنتوم زاویه ای آن است که خود آن از رابطه زیر تعریف می گردد:
همان طور که ملاحظه می گردد، رابطه (۲۴-۲) در مختصات اینرسی بیان شده است. از آنجا که مومنتوم تنش اینرسی (I) در مختصات بدنه به راحتی قابل بیان است ، بهتر است که رابطه (۲۴-۲) را نیز در مختصات بدنه بیان نماییم. بنابراین باید مشتق زمانی H را در مختصات بدنه به دست آوریم. تئوری (Coriolis) بیان می دارد که:
طبق این رابطه یک بردار دلخواه (۰) از یک مختصات به مختصات دیگر قابل انتقال بود
با جایگذاری، رابطه (۲۴-۲) را به صورت زیر خواهیم چاشت:
بنابراین رابطه (۲۸-۲) رابطه برداری معادله اویلر در مورد یک جسم سلب می باشد که بردارهای آن در مختصات بدنه تعریف شده اند [۷]. در مورد یک جسم که روی آن یک چرخ هرزگرد نصب شده باشد، مومنتوم زاویه ای کل، مجموع مومنتوم زاویه ای ناشی از حرکت چرخشی بدنه و مومنتوم زاویه ای تولیدی توسط چرخ هرزگرد (h) خواهد بود. این مومنتوم کلی را می توان به صورت زیر بیان نمود:
با تبدیل این رابطه و تولید آن در مختصات بدنه طبق رابطه اویلر خواهیم داشت:
از آنجا که سرعت زاویه ای چرخ هرزگرد ثابت در نظر گرفته می شود بنابراین:
و خواهیم داشت:
درنهایت رابطه (۳۲-۲) معادله حرکت یک جسم سلب که یک وسیله با سرعت زاویه ای ثابت روی آن نصب شده است را نشان می دهد.
۶-۲- معادلات حرکت ژیروسکوپ
برای به دست آوردن معادلات دینامیکی یک ژیروسکوپ باید بتوان معادله (۳۲-۲) را حول محورهایی که ژیروسکوپ می تواند حرکت کند تعریف نمود. هر گیمبال یک جسم سلب جداگانه می باشد و لذا باید سه معادله حرکت اویلر مجزا را برای هر کدام نوشت. به منظور ساده نمودن تحلیل، فرض می گردد که هر گیمبال دارای یک مومنتوم تنش اینرسی کروی است، بنابراین تأثیرات اینرسی آنها روی یکدیگر قابل چشم پوشی می باشد.