بنابراین کنترلگر نهایی برابر است با:

(‏۳‑۲۴)
حال با توجه به مطالب ارائه شده، میتوان بلوک دیاگرام کنترلگر پیشنهادی به شکل زیر معرفی کرد:
y
Nonlinear system
Controller
Gain function
(۳-۲۶)
Sliding function
(۳-۲۰)
Fuzzy logic system
Fuzzy logic system
-
Observer
(۳-۱۵)
+
ξ(x)
e
+
Adaptive law
(۳-۱۷)
-
شکل ‏۳‑۱: AFSMC with nonlinear system for aproximate
برسی پایداری
قضیه ۱ : سامانه غیر خطی(۳-۱) به همراه قانون کنترل (۳-۲۳) و مشاهده گر (۳-۱۵) را در نظر بگیرید. در سیستم حلقه بسته فوق، تمامی سیگنالها محدود و سیگنال خطای ردیابی(e(t)) در ، به سمت صفر همگرا میشود.
اثبات: برای دستیابی به یک قانون کنترل مناسب، شرایط لغزش زیر باید ارضاء شود:
(‏۳‑۲۵)
تابع لیاپانوف زیر پیشنهاد میشود:
(‏۳‑۲۶)
بنابراین با انتخاب

(‏۳‑۲۷)
رابطه بازای تمامی زمانها ارضاء میشود.
نتیجه گیری
در این فصل با توجه به مطالبی که در فصل قبل در مورد محاسن و معایب کنترل لغزشی و لزوم استفاده از آن در سامانه های دارای عدم قطعیت و همچنین روش های بهبود عملکرد کنترلگر فوق بیان شد، سعی کردیم تا با ترکیب روشهایی از کنترل لفزشی فازی که در گذشته معرفی شده اند، به کنترلگری قابل اعتماد، دارای پاسخگویی سریع و همینطور پایدار برسیم. بنابراین از دو سیستم فازی به عنوان تخمینگر ترم های مختلف سامانه، برای بهبود عملکرد کنترل لغزشی استفاده شده است، همچنین برای حالتهایی از سامانه که قابل اندازه گیری نیستند، از یک مشاهده گر حالت استفاده شده است. در فصل آینده نتیجه شبیه سازی این کنترلگر را بر روی یک سامانه مکانیکی زیر تحریک مشاهده خواهیم کرد.
مطالعه موردی و شبیه سازی
مقدمه
در دهه های گذشته شاهد افزایش تلاش برای کنترل سامانه های مکانیکی زیر تحریک^[۱۱۴] بوده ایم. سامانه های مکانیکی زیر تحریک، سامانه هایی هستند که تعداد درجات آزادی در آنها از تعداد محرکها بیشتر است بطور مثال یک و یا چند درجه آزادی آنها بطور مستقیم قابل کنترل نیستند. از این نوع سامانه های مکانیکی در عمل بسیار زیاد هستند مانند: شناورها، فضاپیماها، زیردریایی ها ، هلیکوپترها ،… .
برای برسی مسائل سامانه های زیر تحریک به تحلیل روابط غیر خطی نیازمند هستیم زیرا با بهره گرفتن از روش های کنترل خطی، با مشکل عدم پایداری مواجه خواهیم شد و همچنین مسئله کنترل ردیابی نیز بر مشکل فوق اضافه خواهد شد.
همانطور که ذکر شد، بسیاری از سامانه های مکانیکی زیر تحریک، توابعی از قیود غیر هولونومیک میباشند. همچنین همانطور که قبلا اشاره شد، در مکانیک کلاسیک، این قیود بصورت قیود خطی از نوع معرفی میشوند و با q نمایش داده شده.
طبق مطالب ذکر شده، شناورها زیرمجموعه ایی از سیستمهای مکانیکی زیر تحریک میباشند. دلیل اینکه شناور ها را زیر تحریک مینامند این است که تعداد محرکهای آن کمتر از تعداد درجات آزادی باشد.
برای مثال یک کشتی های امروزی را در نظر بگیرید که دارای سه درجه آزادی میباشند. مشاهده میشود که در این کشتی دو محرک وجود دارد و باید با بهره گرفتن از این دو محرک سه کمیت را کنترل کرد. بنابراین با یک سامانه زیرتحریک مواجه هستیم.
با بیان توضیحات گفته شده، تاکید میشود که در این گزارش مسئله کنترل یک شناور اثر سطحی را مورد برسی قرار میدهیم.
تعداد قابل ملاحظه ایی از کشتیهایی که امروزه در دنیا استفاده میشود تنها دارای یک پروانه و یک سکان میباشد و همانطور که ذکر شد سامانه فوق یک سامانه زیر تحریک میباشد. البته، در این سامانه میتوان با اضافه کردن یک محرک به بدنه شناور، آنرا به یک شناور فول محرک تبدیل کرد. بطوریکه برای تمام درجات آزادی و یا به زبان دیگر، برای تمام حرکات مورد نیاز بصورت مستقیم محرک داشته باشد. اما این کار برای مصارف معمولی از لحاظ اقتصادی هزینه زیادی دارد.
با این حال، تمایلات اخیر در طراحی شناورها بر این بوده است که از یک محرک در قسمت سینه کشتی استفاده شود. روش فوق که باعث فول محرک شدن کشتی میشود در مواردی چون مانور سریع برای پهلو گرفتن در لنگرگاه و راحت تر کردن ارتباط با کشتی کناری، استفاده میشود.
در سرعت های بالا به دلیل سرعت جریان آب عبوری از کنار شناور، محرک فوق اثر خود را از دست داده و عکس العمل بسیار ضعیفی از خود نشان میدهد.
در واقع، به منظور طراحی یک کنترلگر برای سامانه ایی که قصد کنترل آنرا داریم و همچنین مشاهده چگونگی عملکرد کنترلر و عملکرد کل سامانه (کنترلگر و پلنت) بوسیله شبیه سازی، نیاز به یک مدل ریاضی که بیان کننده رفتار دینامیکی سامانه باشد، احساس میشود.
پیچیدگی مدل دینامیکی بستگی به نوع استفاده از سامانه مورد نظر و همچنین اهداف آن دارد. درواقع زمانی از یک مدل پیچیده و یا ترکیبی، استفاده میشود که ساختارهای مختلفی در عمل هدایت، از قبل پیش بینی شده باشد. این نوع مدل ها بر اساس قوانین فیزیکی حاصل میشوند و نیاز به اطلاعات گسترده در زمینه پدیده های درگیر با عملکرد سیستم و ارتباط متقابل آنها دارد. البته استفاده از روش فوق ایجاب میکند که برای کشتی های مختلف عمل مدل کردن و شناسایی پارامترها را تکرار کرد، که این کار از لحاظ هزینه ایی مقرون به صرفه نیست.
بطور کلی، در مهندسی کنترل رویکرد متفاوتی برای رسیدن به هدف فوق استفاده میشود که عبارت است از، طراحی کنترلگر بر اساس یک مدل ریاضی ساده که تنها دینامیکهای مهم سامانه را معرفی میکند. دقت شود که مدل فوق دارای دقت بالا نبوده و پارامترهای آن نیز متغیر میباشند. بنابراین برای زمانی که عملکرد خوب و حذف نویز را در سامانه لازم داشته باشیم، مجبور به استفاده از چند کنترلگر ترکیبی هستیم.
بهترین نتایج زمانی حاصل میشود که از ترکیب دو روش فوق استفاده شود، یعنی از ساختار پیچیده مدل که با حفظ دقت نسبی، ساده سازی شده است، به منظور طراحی کنترلگر استفاده شود. البته درستی این مدل با اندازه گیریهای آنلاین میتواند دقیقتر شود.