و گسسته شدهی معادلهی مرزی در x=0 توسط این روش بدین صورت است:

(۲۵.۳)

۲.۲.۳- نتایج:
شکل ۵.۳.الف و ۵.۳.ب افزایش ضخامت لایهی مرزی هیدرودینامیکی و حرارتی را نسبت با زمان نشان میدهد .در این دو شکل  و  میباشد. در شکل ۶.۳.الف افزایش پارامتر مغناطیسی، منجر به کاهش سرعت میگردد. علت این امر نیروی دراگ مانند لورنتز می باشد که در اثر قرار گرفتن سیال هادی جریان الکتریسیته در میدان مغناطیسی ایجاد میشود و با افزایش میدان مغناطیسی، تقویت میگردد که منجر به کاهش سرعت سیال میشود. شکل ۶.۳.ب نشان میدهد که با افزایش پارامتر مغناطیسی توزیع دمای درون سیال افزایش مییابد. این مساله بخاطر این است که با افزایش میدان مغناطیسی انرژی بیشتری درون سیال پراکنده میشود که این مساله منجر به بالا رفتن توزیع دمای درون سیال میگردد. شکل ۷.۳.الف نشاندهندهی کاهش ضریب برش روی دیواره با افزایش پارامتر مغناطیسی است. این امر بدین خاطر است که با افزایش پارامتر مغناطیسی ضخامت لایه مرزی هیدرودینامیکی افزایش مییابد در نتیجه گرادیان سرعت کم می شود، بنابراین ضریب برش دیواره کاهش می یابد. در شکل ۷.۳.ب نرخ انتقال حرارت از سطح کره با افزایش پارامتر مغناطیسی کم میشود. علت این امر نیز افزایش ضخامت لایه مرزی حرارتی و در نتیجه کاهش گرادیان دما درون لایهی مرزی و به تبع آن کاهش نرخ انتقال حرارت است. نکتهی جالبی که این شکل دارد بر روی هم افتادن خطوط نرخ انتقال حرارت در زمان های اولیه است که این امر نشاندهندهی این است که مکانیزم غالب در زمان های اولیه مکانیزم هدایت است. از طرفی اشکال ۷.۳.الف و ۷.۳.ب نشان میدهد که با افزایش پارامتر مغناطیسی مدت زمان رسیدن به حالت دایم به تاخیر میافتد. شکل۸.۳.الف و ۸.۳.ب نشان میدهد که با افزایش زاویه از نقطهی سکون ضریب برش دیواره و نرخ انتقال حرارت دیواره کاهش پیدا میکند و در نقطهی سکون حداکثر مقدار خود را دارد. علت این مساله هم حداکثر بودن گرادیان دما و سرعت در نزدیکی نقطهی سکون است. از طرفی با توجه به جدول ۶.۳ و ۷.۳ افزایش میدان مغناطیسی میزان پایین زنی در نرخ انتقال حرارت و کاهش می دهد اما میزان بالازنی در ضریب برش دیواره مشاهده نمیشود.

۳.۳- بررسی اثر تولیدو جذب حرارت بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت
اثر تولید حرارت در جریان سیال دارای حرکت در برخی از فرایندهای فیزیکی از اهمیت شایانی برخوردار است که از آن جمله می توان به فرایندهای که حاوی واکنش های شیمیایی می باشند، اشاره کرد. از سایر کاربردهای این اثر میتوان به کاربردهای مرتبط با راکتورهای هستهای ، مدلسازی احتراق، چیپهای الکترونیکی و… اشاره کرد. واجراولو و هاجینیکلو ]۴۸[ اثر نرخ تولید حرارت حجمی اینگونه معرفی میکنند :

(۲۶.۳)

که  ثابت تولید حرارت می باشد. همچنین ایشان در مقالهیشان گزارش دادند که رابطه (۲۶.۳) در تقریب برخی از فرایندهای گرمازا معتبر است. حال اثر تولید و جذب حرارت در جریان جابجایی آزاد گذرا در اطراف کرهی همدما مورد مطالعه قرار گرفته است.
۱.۳.۳- مدلسازی ریاضی جریان:
با این شرایط معادلهی انرژی (معادلهی (۳.۳)) به فرم زیر در میآید

(۲۷.۳)

پس با توجه به معادلات (۵.۳) و (۶.۳) داریم

(۲۸.۳)

که  است. معادلهی ساده شدهی (۲۸.۳) با توجه به معادلهی (۱۱.۳) بدین صورت است:

(۲۹.۳)

پس معادلهی مرزی در x=0 بدین صورت تعریف میشود: