مراحل ۲ و ۳ را تا آنجایی که می‌خواهید، تکرار کنید.
بعد از ساخت کلاه سیرپنسکی، دانش‌آموزان ممکن است چنین سؤالاتی بپرسند: وقتی که n به بی‌نهایت می‌رسد، چه اتفاقی می‌افتد؟ و چند نقطه حذف خواهد شد؟ قسمت زیر فرمولی برای کلاه سیرپنسکی می‌باشد:

تعداد سوراخ‌ها:
مساحت سوراخ جدید
مساحت حذف شده
مجموع مساحت باقیمانده
دانش‌آموزان می‌توانند این فرمول‌ها را با بهره گرفتن از کپی خود از فراکتال کشف کنند یا می‌توانند همین فرمول‌ها را از طریق فراکتال ساخته شده خود کشف کنند.
فراکتال مشابه دیگری را که دانش‌آموزان می‌توانند بسازند و ایجاد کنند، فرش سیرپنسکی است. دانش‌آموزان به جای استفاده از مثلث متساوی‌الاضلاع برای شروع فراکتال می‌توانند از مربع استفاده کنند. برای ساخت فرش سیرپنسکی از این راهبردها استفاده کنید:
با مربع C(0) شروع کنید.
مربع را به ۹ مربع متجانس تقسیم کنید.
مربع مرکزی را حذف کنید.
مربع‌های باقیمانده را به ۹ مربع متجانس تقسیم کنید.
مرکزهای مربع‌های باقیمانده را حذف کنید.
مراحل ۵-۲ را تا آنجایی که می‌خواهید تکرار کنید.
هنگامی که فرش سیرپنسکی ساخته شد، دانش‌آموزان می‌توانند از فرمول‌های زیر برای بررسی مساحت و محیط استفاده کنند. فرمول‌ها عبارت‌اند از:
طول ضلع مربع جدید
مساحت یک مربع
تعداد مربع‌های جدید
مساحت حذف شده
مجموع مساحت باقیمانده
بعد از اینکه دانش‌آموزان فرمول‌ها را برای مساحت و محیط بررسی کردند، سؤالاتی از قبیل سؤالات زیر از دانش‌آموزان بپرسید: با نزدیک شدن n به بی‌نهایت، مساحت این شکل چه خواهد بود و کدام قسمت‌ها هیچ گاه حذف نخواهند شد؟ معلمان با پرسیدن این سؤالات سطح بالاتر در مورد فراکتال می‌توانند دانش‌آموزان را در درس شرکت دهند.
همچنین دانش‌آموزان می‌توانند کار نیلز فابیان هلج ون کاچ ریاضی‌دان سوئدی را بررسی کنند. بزرگ‌ترین تعامل او به دنیای فراکتال‌ها منحنی کچ است. برف‌دانه کاچ برای افزودن دشواری به منحنی کاچ ایجاد شده بود که روی هم رفته سه منحنی کاچ می‌باشد. برف‌دانه کاچ ممکن است با بهره گرفتن از مراحل زیر ساخته شود:
با مثلث متساوی‌الاضلاع شروع کنید.
هر سمت مثلث را به سه قسمت تقسیم کنید.
مثلث‌های متساوی‌الاضلاع کوچکتری روی خارج ضلع اصلی با دو بردار روی نقاط قطع شده ایجاد کنید.
مراحل ۲ و ۳ را تا آنجایی که می‌خواهید تکرار کنید.
برف‌دانه کاچ همانند فراکتالهای قبلی را می‌توان برای بررسی محیط مساحت بکار برد. فرمول‌های کلی برای برف‌دانه کاچ عبارت‌اند از:
طول ضلع
تعداد اضلاع
محیط
سؤالی همانند سؤال زیر را می‌توان هنگامی از دانش‌آموزان پرسید که آن‌ها برف‌دانه کاچ و مشخصات آن را کاوش می‌کنند: «وقتی که n به بی‌نهایت نزدیک می‌شود چه اتفاقی می‌افتد؟» دانش‌آموزان با ساخت فراکتال‌ها و بررسی مشخصات کلاه، فرش و برف‌دانه سیرپنسکی می‌توانند در مورد محیط و مساحت شی فرا گیرند. فراکتال روش منحصربه‌فرد و خلاقانه‌ای به دانش‌آموزان برای یادگیری در مورد و تمرین یافت محیط و مساحت ارائه می‌کنند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۱۱ و ۱۲).
خود همانندی در اشکال هندسی (فراکتال):
فراکتال ها همانند (خود متشابه) هستند، بدین معنی که: یک فراکتال در هر اندازه ای و با هر مقیاسی، مشابه مقیاس های دیگر به نظر می رسد. (کل شکل اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.) به این خاصیت، خود همانندی می گویند. مثلاً در مثلث سرپینسکی^[۳۵]، مثلث بزرگ از مجموعه مثلث های همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتال ها است که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است (میریان، ۱۳۹۰، ص ۸۷). فراکتال ها بر خلاف شکل های اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند، این شکل ها اولاً سراسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی در آن‌ها در همه مقیاس ها یکسان است. جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می شود به تعبیر دیگر خود متشابه است. وقتی به یک جسم فراکتالی نزدیک می شویم می بینیم که تکه های کوچکی از آن همچون دانه های بی شکل پیچیده به نظر می رسد به صورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود (لیلیان و همکاران، ۱۳۸۹، ص ۴۲).
آموزش هندسه به روش موزاییک کاری:
موزائیک‌کاری‌ها روش جالبی برای یکپارچه‌سازی هنر در کلاس هندسه می‌باشند. موزائیک‌کاری‌ها ممکن است از تکمیل تغییر یا چرخش ساده شکل ایجاد شوند. دستکاری‌های اشکال به دانش‌آموزان در درک مشخصات شکل‌های مختلف کمک می‌کند. دانش‌آموزان با طراحی موزائیک‌کاری دارای علاقه فردی به درس ریاضی خود می‌باشند که یادگیری و حفظ را ارتقاء می‌دهد. بسیاری از مباحث ریاضیاتی از طریق موزائیک‌کاری‌ها یادگیری و تقویت می‌شوند. موزائیک‌کاری‌ها به تقارن، تغییر شکل، الگوسازی و شناخت زاویه و شکل کمک می‌کنند. برای کمک به دانش‌آموزان برای معرفی موزائیک‌کاری‌ها، آن‌ها می‌توانند کارهای ام سی اچلر را ببینند. موزائیک‌کاری اچلر روی این صفحه، خزندگان نام دارد. دانش‌آموزان می‌توانند این قطعه را ببیند و الگوسازی را بحث کنند. خزندگان در موزائیک‌کاری‌ها الگوهایی در درون تصویر ایجاد می‌کنند زیرا که آن‌ها در سراسر قطعه تکرار می‌شوند. همراه با الگوسازی می‌توان تقارن را از طریق موزائیک‌کاری‌ها کاوش کرد. موزائیک‌کاری‌ها ممکن است شامل تقارن چرخشی و انعکاسی باشد. تصویر زیر تقارن چرخشی درون موزائیک‌کاری‌ها را نشان می‌دهد.

کودکان می‌توانند ویژگی‌های هر دو نوع تقارن را بررسی کنند. خزندگان نیز تقارن چرخشی بین خزندگان مختلف نشان می‌دهد و قطعه هنری حرفه‌ای جالبی است که تقارن را نشان می‌دهد. هندسه بازتاب نیز در موزائیک‌کاری‌ها نشان داده می‌شود. موزائیک‌کاری‌ها ممکن است با بهره گرفتن از چند روش همانند روش تکه‌ای خلق شوند که برشی صورت می‌دهد یا روش خط که خطوط مستقیم را به منحنی تبدیل می‌کند. روشی را که دانش‌آموزان استفاده می‌کنند به سطح در نظر گرفته شده برای درس بستگی خواهد داشت.
برای دانش‌آموزان کودکستانی و کلاس اول، آن‌ها نبایستی اشیاء خاص خود را برای موزائیک‌کاری ایجاد کنند اما شکل‌های مختلفی برای آن‌ها باید ارائه شود. دانش‌آموزان با خلق الگوها با شکل‌های مختلف می‌توانند کار خود با موزائیک‌کاری‌ها را شروع کنند. کودکان خردسال می‌توانند قطعه‌های هنری حرفه‌ای که از موزائیک‌کاری‌ها استفاده می‌کنند همانند کارهای اچلر را مشاهده کنند. معلم می‌تواند تقارن و الگوسازی را مورد بحث قرار دهد.
برای دانش‌آموزان ابتدایی پایه دوم و سوم، آن‌ها می‌توانند از روش تکه برای خلق موزائیک‌کاری‌ها همانند تصویر سمت راست استفاده کنند. روش تکه‌ای از دانش‌آموزان می‌خواهد تا مربعی را شروع کنند و سپس قسمتی از یک ضلع مربع را حذف کنند. هنگامی که شکل حذف شد، تکه بر روی سمت مقابل مربع وارد می‌شود. این تغییرشکل اجازه می‌دهد که شکل با خود موزائیک‌کاری‌ کند. روش تکه ممکن است به دانش‌آموزان در یادگیری تغییر شکل‌ها کمک کند. آن‌ها می‌توانند مشاهده کنند که شی را چگونه می‌توان بسته به چگونگی ایجاد موزاییک‌ کاری‌های آن‌ها، لغزاند یا چرخاند. همچنین دانش‌آموزان ابتدایی می‌توانند از شکل‌های هندسی اصلی برای بررسی زاویه‌های شکل‌ها استفاده کنند. آن‌ها می‌توانند فرا گیرند که چه شکل‌هایی موزائیک‌کاری‌ می‌شوند و کدام شکل‌ها این گونه نمی‌شوند. آن‌ها همچنین می‌توانند شکل‌ها را دستکاری کنند تا دریابند که مربع با مثلث قائم بر روی هر ضلع، خط مستقیم یا ۱۸۰ درجه خلق می‌کند.
دانش‌آموزان پایه بالاتر (چهارم تا ششم) می‌توانند از روش خط برای طرح موزائیک‌کاری خود‌ استفاده کنند. روش خط دانش‌آموزان را ملزم می‌دارد تا شکل خاص خود را با بهره گرفتن از یک سری خطوط طراحی کنند. دانش‌آموزان با شکل پایه شروع بکار کرده و اضلاع را دستکاری می‌کنند تا خطوط منحنی ایجاد کنند. مثالی از موزائیک‌کاری‌ ساخته شده توسط روش خط، تصویر سمت چپ است. مهرها، کایت‌ تغییرشکل یافته هستند که با هم تطبیق یافته تا موزائیک‌کاری شوند. بر طبق نظر تیم گرانگر^[۳۶] که معلم کلاس پنجم است، دانش‌آموزانش ویژگی‌های شکل‌های مختلف و چگونگی اثرگذاری این ویژگی‌ها بر توانایی شکل برای موزائیک‌کاری‌ها را فرا گرفته‌اند. این تنها یکی از بسیار مباحثی است که دانش‌آموزان می‌توانند از طریق موزائیک‌کاری‌ فرا گیرند. دانش آموزان در تمام پایه‌ها بدین شیوه می‌توانند در مورد تقارن، الگوها، مشخصات شکل فرا گیرند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۷ و ۸).
آموزش هندسه به روش کتاب سازی:
یکی از روش های هنری که می تواند در کلاس درس هندسه مورد استفاده قرار گیرد، کتاب‌سازی است. استفاده از پروژه‌های هنری ممکن است کودکان را در پروژه خلاقانه‌ای شرکت دهد که به تقویت و یادگیری مفاهیم کمک می‌کند. دانش‌آموزان می‌توانند کتابی در مورد هر مبحث در ریاضیات بسازند که به عنوان یک ابزار ارزیابی عمل کند. برای ارزیابی دانش دانش‌ آموزان در مورد اشکال، اجازه دهید دانش آموزان کتاب کودکان بر مبنای اشکال را بنویسند و نشان دهند. این امر به معلمان این امکان را می‌دهد تا بینشی در مورد مفاهیمی که دانش‌آموزان فرا می‌گیرند، به دست آورند. در حالی که آزمایشات قدیمی شامل نوشتن تعاریف حفظ شده یا رسم اشکال است با این حال کتاب‌سازی فرصتی برای نشان دادن دانش و همچنان لذت‌بخش بودن و خلاق بودن ارائه می‌کند. کتاب‌سازی به دانش‌آموزان اجازه می‌دهد تا تعاریف را به واقعیت تبدیل کنند.